CO-1 数据表示与运算

这一部分为什么存在？

硬件只能存储和翻转 0/1。要让电路做数学，必须先回答一连串“编码决策”：

1. 负数怎么表示：直接用符号位（原码）会让 0 有两种表示、加减要分情况设计两套电路——硬件太贵。需要一种“加减统一、0 唯一”的编码 → 补码。
2. 加减结果超范围怎么办：$n$ 位只能表示有限个数，运算可能溢出，硬件必须能检测并报告 → 溢出判断逻辑（OF）。
3. 很大/很小的数怎么表示：定点数范围与精度互相锁死 → 用“科学计数法”把指数也存进去 → 浮点数（IEEE 754）。
4. 多个字节怎么排：一个 int 占 4 字节，高字节放低地址还是高地址 → 大端/小端；按几字节对齐存放 → 边界对齐。

每一个决策都直接决定运算器（ALU）怎么造、标志位怎么设、指令怎么设计。没有统一的编码约定，后续一切硬件设计无从谈起。

flowchart TD
    A["硬件只有 0/1"] --> B["负数编码：原码→反码→补码<br/>（加减统一、0 唯一）"]
    A --> C["浮点：IEEE 754<br/>符号 | 阶码(移码) | 尾数(隐藏 1)"]
    B --> D["n 位范围有限<br/>→ 溢出判断 OF"]
    B --> E["移位 = 快速 ×2 / ÷2<br/>算术 vs 逻辑"]
    C --> F["浮点加减五步<br/>对阶→尾数加减→规格化→舍入→判溢出"]
    A --> G["多字节存储约定<br/>大端/小端 + 边界对齐"]
    B & C --> H["C 类型转换<br/>位扩展/截断/精度丢失"]

核心概念：

1. 补码运算与溢出判断（来源：复习资料 P2 §5）

补码的精髓：减法 = 加“取反加 1”，带符号与无符号加法的位级运算完全相同，可用同一套加法器（2011-43 结论）；区别只在标志解释——带符号看 OF，无符号看 CF。

溢出判断两法：

口诀：正 + 正 = 负、负 + 负 = 正 → 溢出；正 + 负永不溢出。真题：2010-13（r1×r2 等四则运算谁溢出）、2014-13（x=103, y=−25 的 8 位补码运算）、2021-13（FFFDH 等机器数判关系）、2018-19（sub 后 CF 与 OF 各是多少）。2022 年大题更要求写出 $SF$、$OF$ 关于 $A_{15}, B_{15}, F_{15}$ 的逻辑表达式——把“口诀”落实到门电路。

2. 移位：廉价的乘除 2

陷阱：负数算术右移补 1——−1088（FBC0H）算术右移 4 位 = FFBCH（−68），不是 0FBCH（来源：复习资料 P2 §5.2，7 月月考 13 题错点）。

3. IEEE 754 浮点加减五步（2009-13 模板，来源：复习资料 P2 §6）

1. 对阶：小阶向大阶看齐（为什么：对齐小数点才能加尾数；小阶改是因为大阶改会丢高位），阶差 $d$ → 小阶尾数右移 $d$ 位；
2. 尾数加减（补码）；
3. 规格化：尾数溢出（双符号 01/10）→ 右规（右移 1 位、阶码 +1）；不够规格 → 左规；
4. 舍入：0 舍 1 入 / 恒置 1 / 截断（舍入可能再次破坏规格化，需复检）；
5. 判溢出：看阶码是否超范围（双符号阶码 01/10）。

关键认识（2015-14）：尾数溢出不一定真溢出（右规可挽救），阶码上溢才是真溢出；右规和舍入都可能引起阶码上溢。float 不能精确表示 1.2（二进制小数无限循环）但可以表示 1.25、2.5（2021-14）。

4. C 类型转换（大题常客）

• int → float：32 位 int 的全部位都“有效”，float 尾数只有 24 位（含隐含 1）→ 大整数会舍入失真；int → double 无失真；float → int 直接截断小数（可能整体溢出）。
• 2017 年大题：f2(127) 机器数 7F80 0000H（$+\infty$ 的下一值？实为 $2^{128}$ 量级溢出点）→ 不溢出最大 n、精确（无舍入）最大 n 的两问，考的就是“float 精度 24 位”这一本质。
• 无符号 ↔ 带符号同长转换：位模式不变，解释改变（2016-13：unsigned short usi = si 得 32769）；短 → 长：带符号数符号扩展，无符号数零扩展。

5. 大端/小端与对齐

小端机器 double 1122 3344 5566 7788H 存于 8040H 起，8046H 单元内容 = 33H（2016-14：低地址存低字节 88,77,66,55,44,33,22,11）。大端 + 基址寻址综合：2019-15 求操作数 LSB 所在地址（先算有效地址，再按大端推出 LSB 在 EA+3）。

定点 vs 浮点：定点电路简单、运算快、精度均匀但范围小；浮点以“尾数精度”换“指数范围”，但数轴上分布不均匀（越靠近 0 越密）——所以 float 能精确表示 2.0 却不能精确表示 1.2，大整数 int→float 会失真。

大端 vs 小端（易混对）：为什么易混——只是字节排列顺序，数值完全相同。判别线索：题目给“内存单元地址从低到高的字节序列”→ 小端要倒着读；x86 默认小端，网络字节序（计网报文）是大端——这是与 CN 的隐性连接。

形态一：机器数 ↔ 真值换算（每年必考）：2011-13（−8.25 → C104 0000H）、2013-13（C640 0000H 求真值）、2014-14（两个 float 机器数比大小）、2018-13（x−y 机器数与溢出）、2020-13（C800 0000H 是 int 还是 float）、2022-14（−0.4375 → BEE0 0000H）、2023-14（非规格化数）。

形态二：溢出与标志位：2010-13、2014-13、2015-14、2018-19、2021-13；大题 2011-43（溢出判断 + 无符号/带符号共用加法器）、2019 大题（imul 溢出条件与异常处理指令）、2020 大题（umul/imul 的 2n 位乘积与溢出判断）、2022 大题（SF/OF 逻辑表达式）。

形态三：浮点运算流程：2009-13（五步全算）、2015-14（叙述辨析）、2012-14（最大规格化数）、2018-14（最小规格化正数 $2^{-126}$）。

形态四：类型转换与存储：2010-14（int/float/double 关系表达式）、2016-13/14、2017 大题（float 精度与溢出边界）。

做题触发词：看到“机器数 + 补码/IEEE 754”→ 先切字段再代入公式；看到“8 位运算”→ 警惕溢出；看到“寄存器内容 + float”→ 按 S|E|M 还原；看到“ unsigned 与 int 混合”→ 隐式转换为无符号（补充理解：C 规则，真题大题常据此设坑）。

来源：真题markdown/2009-2024统考真题.md 对应题号；复习资料 P2 §5–6。

• 向前依赖：CO-0（机器字长、性能指标——FLOPS，2011-12、2021-12）。
• 向后引出：
  • 补码偏移量 → 指令系统的相对寻址/基址寻址（CO-2；2010-16? 实为 2014-17、2019-15 均综合补码偏移）；
  • ALU 与标志位 → CO-4 数据通路（运算器是数据通路核心；条件转移依赖 CF/ZF/SF/OF，2011-17）；
  • 地址本质是补码/无符号整数 → Cache 地址切分（CO-3）、虚存地址（X-1）；
  • 大端/小端 → 计网“网络字节序 = 大端”（CN 隐性连接）；
  • int→float 精度问题 → DS/程序设计中浮点比较陷阱（理解级）。

1. 为什么不用原码做加减？补码解决了哪两个问题？（两套电路 → 一套；±0 → 唯一）
2. 补码怎么快速求负？$n$ 位补码范围？为什么负数多一个？
3. 带符号和无符号加法硬件上有何关系？各自看哪个标志？
4. 什么情况下才可能溢出？两种判断法分别怎么看？
5. 算术右移补什么？负数右移的陷阱是什么？
6. IEEE 754 单精度三个字段各多少位？值怎么算？为什么用移码存阶码？
7. 最大/最小规格化正数是多少？阶码全 0 表示什么？
8. 浮点加减为什么先对阶？向谁看齐、为什么？
9. 尾数溢出和阶码溢出哪个是真溢出？右规和舍入会引发什么？
10. 为什么 float 表示不了 1.2 却能表示 1.25？int 转 float 何时失真？
11. 大端小端差在哪？给定字节序列怎么读一个 int？
12. 这些编码决策如何进入指令寻址、ALU 标志位和条件转移？（接 CO-2/CO-4）